Dirac-Notation und -Operatoren
In der vorherigen Einheit haben Sie gelernt, wie Sie Superpositionszustände für ein einzelnes Qubit auf einer Bloch-Kugel darstellen. Aber Quantencomputing erfordert Systeme vieler Qubits, um nützlich zu sein, daher benötigen wir eine bessere Möglichkeit, Superpositionszustände in größeren Quantensystemen darzustellen. Verwenden Sie in der Praxis die Gesetze der Quantenmechanik und die Sprache der linearen Algebra, um Quantenzustände im Allgemeinen zu beschreiben.
In dieser Lektion erfahren Sie, wie Sie Quantenzustände in dirac bra-ket notation ausdrücken und diese Notation verwenden, um die linearen Algebraberechnungen zu vereinfachen, die die Grundlage der Quantenmechanik und Quantenberechnung bilden.
Dirac-Notationssystem mit Bra-Ket-Schreibweise
Dirac-Bra-Ket-Notation, oder einfach Dirac-Notation genannt, ist eine Kurzschreibweise, die das Aufschreiben von Quantenzuständen und das Durchführen von linearen Algebra-Berechnungen erheblich erleichtert. In Diracnotation werden die möglichen Zustände eines Quantensystems durch Symbole namens Kets beschrieben, die wie folgt aussehen: $|\rangle$.
Beispiel: Die Notationen $|0\rangle$ und $|1\rangle$ stellen die Quantenzustände 0 bzw. 1 dar. Im Allgemeinen stellen wir den Zustand eines Qubits als $|\psi\rangle$dar, wobei $|\psi\rWinkel$ eine gewichtete Summe (oder lineare Kombination) der beiden Zustände $|0\rWinkel$ und $|1\rWinkel$ist:
$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$
Ein Qubit im Zustand $|\psi\rWinkel = |0\rWinkel$ bedeutet, dass $\alpha = 1$, $\beta = 0$, und es gibt eine Wahrscheinlichkeit von 100%, dass Sie den Zustand 0 beobachten, wenn Sie das Qubit messen. Wenn Sie ein Qubit im Zustand $|\psi\rangle =|1\rangle$ messen, beobachten Sie den Zustand „1“. Alle anderen Werte von $\alpha$ und $\beta$ stellen einen Superpositionszustand dar, solange die Normalisierungsbedingung $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ wahr ist.
Ein Qubit in einem gleichen Superpositionszustand kann als $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$geschrieben werden. Die Wahrscheinlichkeit der Messung von 0 ist $\frac12$, und die Wahrscheinlichkeit der Messung von 1 ist ebenfalls $\frac12$.
Quantenoperatoren
Bei der Quantenberechnung werden Quantenzustände im Laufe der Zeit manipuliert, um Berechnungen durchzuführen. Diese Manipulationen werden durch Quantenoperatoren dargestellt, die Funktionen sind, die auf den Zustand eines Quantensystems reagieren, um das System in einen anderen Zustand umzuwandeln. Beispielsweise wandelt der X Operator den Zustand $|0\rangle$ in den Zustand $|1\rangle$ um:
$$X |0\rangle = |1\rangle$$
Der X Operator wird auch als Pauli-X Gate bezeichnet. Es handelt sich um eine grundlegende Quantenoperation, die den Zustand eines Qubits wechselt. Es gibt drei Pauli-Tore: X, Yund Z. Jedes Gate oder jeder Operator hat einen spezifischen Effekt auf den Qubit-Zustand.
| Operator | Auswirkung auf $\ket{0}$ | Auswirkung auf $\ket{1}$ |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| J | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket{0}=\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
Hinweis
Quantenoperationen werden häufig als Tore im Kontext der Quantencomputing bezeichnet. Der Begriff Quantum gate ist eine Analogie zu Logiktoren in klassischen Computerschaltungen. Der Begriff ist in den frühen Tagen der Quantenverarbeitung verwurzelt, als Quantenalgorithmen als Diagramme ähnlich wie Schaltkreisdiagramme in der klassischen Berechnung dargestellt wurden.
Sie können auch einen Operator verwenden, um ein Qubit in einen Superpositionszustand zu versetzen. Der Hadamard-Operator „H“ fügt ein Qubit in einen Hadamard-Zustand ein, der eine gleiche Überposition des Zustands „$|0\rangle$“ und des Zustands „$|1\rangle$“ darstellt:
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$ $$ H |1\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle - \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$
Wenn Sie ein Qubit in einem Hadamard-Zustand messen, haben Sie eine 50% Chance, 0 zu beobachten, und eine 50% Chance, 1 zu beobachten.
Was bedeutet es, eine Messung zu unternehmen?
In der klassischen Welt betrachten wir Messungen als getrennt vom System, das wir messen. Beispielsweise hat ein Radarstrahl, der die Geschwindigkeit eines Baseballs misst, keinen bedeutenden Einfluss auf den Baseball. Aber in der Quantenwelt wirken sich Messungen auf die Systeme aus, die wir messen. Wenn wir ein Elektronen mit einem Photon treffen, um eine Messung zu nehmen, wirkt es sich grundlegend auf den Zustand des Elektronens aus.
Bei der Quantenberechnung setzt ein Maß unwiderruflich einen Qubit in einen seiner möglichen Zustände 0 oder 1. Wenn wir im Hadamard-Zustandsbeispiel den Qubit messen und feststellen, dass es sich im Zustand 0 befindet, gibt jede nachfolgende Messung dieses Qubits immer 0 an.
Weitere Informationen zur Messung im Kontext der Quantenmechanik finden Sie im Wikipedia-Artikel zum Messproblem.