¿Qué es la superposición en la computación cuántica?

En el mundo clásico, los objetos reales como el gato y la caja solo pueden estar en un estado a la vez. Pero en el mundo cuántico, las partículas pueden existir en una superposición de todos sus estados posibles.

Desafortunadamente, no hay equipos cuánticos que usen gatos para realizar cálculos. En cambio, las computadoras cuánticas reales utilizan qubits, abreviatura de bits cuánticos. Al igual que como un bit es la unidad básica de información en la computación clásica, un cúbit es la unidad básica de información en la computación cuántica. Y al igual que el modo en que los bits pueden tomar uno de los dos valores posibles, 0 y 1, un cúbit también tiene un valor de 0 o 1 cuando lo medimos.

Hay muchas representaciones físicas de cúbits. Por ejemplo, la polarización de un foton o el giro de un electron se pueden usar como cúbits porque los fotones tienen dos estados de polarización distintos y los electrones tienen dos estados de giro distintos cuando los medimos. Podemos representar uno de esos estados como 0 y el otro estado como 1, y el cúbit siempre dará 0 o 1 cuando lo midamos.

¿Pero cómo representamos la superposición en un cúbit? ¿Y cuál es la probabilidad de que se encuentre un cúbit en un estado determinado cuando tomemos una medida?

Representación de esfera de Bloch de superposición para cúbits únicos

Un cúbit es una partícula cuántica que se encuentra en uno de los dos estados posibles cuando se mide el cúbit. Independientemente de la naturaleza física del cúbit, etiquetamos los dos estados como 0 y 1. Un cúbit puede estar en el estado 0, en el estado 1 o en un número infinito de superposiciones de los estados 0 y 1. ¿Cómo representamos estas superposiciones en la computación cuántica?

Una representación geométrica útil del estado de superposición de un solo cúbit es la esfera Bloch.

Imagine que dibuja un círculo con un radio de unidad (longitud de radio igual a 1). A continuación, dibuje un eje vertical y horizontal de forma que los dos ejes se intersecen en el centro del círculo. Ahora, vamos a definir el estado 0 para que sea donde el eje vertical se encuentra en la parte superior del círculo y el estado 1 para ser donde el eje vertical se encuentra en la parte inferior del círculo. En este círculo, los estados 0 y 1 están a $180^\circ$, o $\pi$ radianes, entre sí.

¿Cómo se relaciona esta representación con el estado de un cúbit? Podemos representar el estado del cúbit con una flecha (o vector) de longitud de unidad que se dibuja desde el centro del círculo hasta el borde del círculo. Cuando el vector apunta verticalmente hacia arriba, el cúbit se encuentra en el estado 0 y, cuando el vector apunta verticalmente hacia abajo, el cúbit se encuentra en el estado 1. En esta representación, un bit clásico sería un vector que siempre apunta hacia arriba o hacia abajo, pero nunca en ninguna otra dirección.

Para un cúbit, el vector puede apuntar a cualquier parte del círculo. Cada ubicación del círculo, excepto recta hacia arriba o recta hacia abajo, representa un estado de superposición. Por ejemplo, llamamos al ángulo que el vector realiza con el estado 0 $\alpha$, y el ángulo que realiza el vector con el estado $\beta$. A continuación, representamos el estado de superposición del cúbit como $\alpha 0 + \beta 1$.

De forma similar al ejemplo del gato y el cuadro, el estado de superposición de un cúbit es la suma de los estados individuales, 0 y 1, ponderados por los números $\alpha$ y $\beta$. Sin embargo, en el sistema cat-and-box, los pesos son números reales, pero en el sistema de cúbits los pesos $\alpha$ y $\beta$ son números complejos.

Dado que las amplitudes $\alpha$ y $\beta$ son números complejos, necesitamos otro círculo en nuestro diagrama que se encuentra en un plano perpendicular al primer círculo para representar realmente cualquier estado de superposición del cúbit. Estos dos círculos existen en tres dimensiones para generar la esfera Bloch.

Esta esfera Bloch es una representación geométrica precisa de cada estado de superposición posible para un solo cúbit. El estado de cúbit se representa mediante la ubicación en la superficie de la esfera en la que apunta el vector. Tan útil como la esfera bloch es, desafortunadamente no se puede extender a los sistemas con varios cúbits.

¿Qué probabilidad hay de encontrar un cúbit en un estado determinado?

En el sistema de gato y caja de la unidad anterior, los pesos asociados a cada estado son números reales que están directamente relacionados con la probabilidad de que encontremos el sistema en cada estado. En el sistema de cúbits, los números $\alpha$ y $\beta$ se encuentran en números complejos generales que no proporcionan directamente las probabilidades de encontrar el cúbit en los estados 0 y 1. En su lugar, estos números se denominan amplitudes de probabilidad (o simplemente amplitudes).

Las probabilidades reales se calculan a partir de los cuadrados de las magnitudes de las amplitudes de probabilidad. La probabilidad de que una medida encuentre el cúbit en el estado 0 es $|\alpha|^2$, y la probabilidad de que una medida encuentre el cúbit en el estado 1 es $|\beta|^2$. En general, $\alpha + \beta$ no suma a 100%, pero $|\alpha|^2 + |\beta|^2$ siempre lo hace. La restricción que $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ se denomina condición de normalización y cada estado cuántico válido debe cumplir esta condición.