Notacja dirac i operatory
W poprzedniej lekcji przedstawiono sposób reprezentowania stanów superpozycji dla pojedynczego kubitu w sferze Bloch. Jednak obliczenia kwantowe wymagają, aby systemy wielu kubitów były przydatne, dlatego potrzebujemy lepszego sposobu reprezentowania stanów superpozycji w większych systemach kwantowych. W praktyce użyj praw mechaniki kwantowej i języka algebry liniowej, aby ogólnie opisać stany kwantowe.
W tej lekcji dowiesz się, jak wyrażać stany kwantowe w notacji bra-ket Dirac i używać tej notacji, aby uprościć obliczenia algebry liniowej, które tworzą podstawę mechaniki kwantowej i obliczeń kwantowych.
Notacja bra-ket Diraca (zapis w mechanice kwantowej)
Dirac bra-ket notation, lub Dirac notation for short, jest skróconą notacją, która znacznie ułatwia pisanie stanów kwantowych i wykonywanie obliczeń algebry liniowej. W notacji Diraca możliwe stany systemu kwantowego są opisywane przez symbole nazywane ketami, które wyglądają następująco: $|\rangle$.
Na przykład $|0\rangle$ i $|1\rangle$ reprezentują odpowiednio stany 0 i 1 kubitu. Ogólnie rzecz biorąc, reprezentujemy stan kubitu jako $|\psi\rangle$, gdzie $|\psi\rangle$ jest sumą ważoną (lub kombinacją liniową) dwóch stanów $|0\rkąt$ i $|1\rkąt$:
$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$
Kubit w stanie $|\psi\rangle = |0\rangle$ oznacza, że $\alpha = 1$, $\beta = 0$, i istnieje 100% prawdopodobieństwo obserwowania stanu 0 podczas mierzenia kubitu. Podobnie, jeśli mierzysz kubit w stanie $|\psi\rangle =|1\rangle$, zawsze zaobserwujesz stan 1. Wszystkie inne wartości $\alpha$ i $\beta$ reprezentują stan superpozycji, tak długo, jak warunek normalizacji $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ jest prawdziwy.
Kubit w stanie równej superpozycji można zapisać jako $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$. Prawdopodobieństwo pomiaru 0 wynosi $\frac12$, a prawdopodobieństwo pomiaru 1 wynosi również $\frac12$.
Operatory kwantowe
W obliczeniach kwantowych stany kwantowe są manipulowane w czasie w celu wykonywania obliczeń. Te manipulacje są reprezentowane przez operatory kwantowe, które działają na stanie systemu kwantowego, aby przekształcić system w inny stan. Na przykład X operator przekształca stan $|0\rangle$ na stan $|1\rangle$:
$$X |0\rkąt = |1\rkąt$$
Operator X jest również nazywany bramą Pauli-X. Jest to podstawowa operacja kwantowa, która przerzuca stan kubitu. Istnieją trzy bramy Pauli: X, Yi Z. Każda brama lub operator ma określony wpływ na stan kubitu.
| Obsługujący | Wpływ na $\ket{0}$ | Wpływ na $\ket{1}$ |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| Y | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket{0}=\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
Uwaga
Operacje kwantowe są często określane jako bramy w kontekście obliczeń kwantowych. Termin bramka kwantowa jest analogią do bram logicznych w klasycznych obwodach komputerowych. Termin jest zakorzeniony we wczesnych dniach obliczeń kwantowych, gdy algorytmy kwantowe zostały zwizualizowane jako diagramy podobne do diagramów obwodów w obliczeniach klasycznych.
Możesz również użyć operatora , aby umieścić kubit w stanie superpozycji. Operator Hadamarda, H, umieszcza kubit w stanie Hadamarda, co skutkuje równą superpozycją stanów $|0\rangle$ i $|1\rangle$.
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$ $$ H |1\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle - \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$
Podczas mierzenia kubitu w stanie Hadamard masz 50% szansę obserwowania 0 i 50% szansę obserwowania 1.
Co to znaczy zrobić pomiar?
W świecie klasycznym uważamy, że pomiary są oddzielone od systemu, który mierzymy. Na przykład belka radarowa, która mierzy prędkość baseballu, nie wpływa na baseball w żaden znaczący sposób. Jednak w świecie kwantowym pomiary wpływają na systemy, które mierzymy. Kiedy uderzamy elektron z fotonem, aby zrobić pomiar, ma to fundamentalny wpływ na stan elektronu.
W obliczeniach kwantowych pomiar nieodwracalnie umieszcza kubit w jeden z możliwych stanów, 0 lub 1. W przykładzie stanu Hadamard, jeśli mierzymy kubit i stwierdzamy, że znajduje się on w stanie 0, każdy kolejny pomiar kubitu zawsze daje 0.
Aby dowiedzieć się więcej na temat pomiaru w kontekście mechaniki kwantowej, zobacz artykuł w Wikipedii dotyczący problemu z pomiarem.