練習 - 使用 Q# 建立量子糾纏

7 分鐘

在上一個單元中，您已了解量子糾纏和貝爾狀態的概念。

在本單元中，您會使用 Azure Quantum Development Kit （QDK）來撰寫 Q# 程式碼，以在兩個量子位元之間建立糾纏的 Bell 狀態。若要建立第一個 Bell 狀態，請套用兩個量子運算：Hadamard 運算和 Controlled-NOT （CNOT）運算。

首先，讓我們了解這些操作的工作原理以及它們為何會產生糾纏狀態。

哈達瑪德行動

回想一下，Hadamard 或 H 操作會將處於純態 $\ket{0}$ 或 $\ket{1}$ 狀態的量子位元置於相等疊加態。

$$ H \ket{0} = \frac1{\sqrt2} \ket{0} + \frac1{\sqrt2} \ket{1}$$ $$ H \ket{1} = \frac1{\sqrt2} \ket{0} - \frac1{\sqrt2} \ket{1}$$

建立 Bell 狀態的第一步是在其中一個量子位元上執行 Hadamard 運算。

Controlled-NOT (CNOT) 運算

當兩個量子位元糾纏時，一個量子位元的狀態相依於另一個量子位元的狀態。因此，要糾纏兩個量子位元，你需要施加多量子位運算，也就是同時作用於兩個量子位元的操作。 Controlled-NOT (或 CNOT) 運算是一種有助於建立糾纏的多量子位元運算。

CNOT 作業會採用兩個量子位元作為輸入。其中一個量子位元是控制量子位元，另一個量子位元是target量子位元。如果控制量子位元處於 $\ket{1}$ 狀態，則 CNOT 操作會翻轉 target 量子位元的狀態。否則，CNOT 不會執行任何動作。

例如，在下列兩個量子位元狀態中，控制量子位元是最左邊的量子位元，target量子位元是最右邊的量子位元。

輸入至 `CNOT`	輸出來自 `CNOT`
$\ket{00}$	$\ket{00}$
$\ket{01}$	$\ket{01}$
$\ket{10}$	$\ket{11}$
$\ket{11}$	$\ket{10}$

在 Q#中，作業 CNOT 會作用於兩個量子位元的陣列，而且只有在第一個量子位元為 One時，它才會翻轉第二個量子位元。

與 Hadamard 和 CNOT 作業的糾纏

假設你有一個狀態為 $\ket{00}$的雙量子位元系統。在此狀態下，量子位不會糾纏。要將這些量子位元置於糾纏貝爾態 $\ket{\phi^+}=\frac1{\sqrt2}(\ket{00}+\ket{11})$，應用 Hadamard 與 CNOT 操作。

其運作方式如下：

選擇一個處於 c 狀態的量子位元為控制量子位元，另一個量子位元為量 target 子位元。在這裡，我們選擇最左邊的量子位元作為控制項，而最右邊的量子位元則作為 target。
只將控制量子位元置於相等的疊加狀態。若要這樣做，請只將 H 作業套用至控制量子位：

$$H \ket{0_c} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c} + \ket{1_c})$$

備註

下標 ${}_c$ 和 ${}_t$ 分別指定控制與 target 量子位元。
將 CNOT 作業套用至量子位對。請記住，控制量子位元處於疊加態，且量子位元target處於$\ket{0_t}$態。

$ \begin{aligned} CNOT \frac{{1}{\sqrt{{2}}(\ket{0_c}+\ket{1_c})\ket{0_t}&= CNOT \frac{{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 0_t})\\&=\frac{{1}{\sqrt2}(CNOT \ket{0_c 0_t} + CNOT \ket{1_c 0_t})\\&=\frac{{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 1_t}) \end{aligned}$

狀態 $\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 1_t})$ 是糾纏的。這個特定的糾纏態是四個貝爾態之一。 $\ket{\phi^{+}}$

備註

在量子計算中，操作通常被稱為「門」。例如，H 閘門和 CNOT 閘門。

在Q#中建立量子糾纏

若要使用程式碼建立 Q# Bell 狀態，請在 Visual Studio Code （VS Code）中遵循下列步驟：

開啟 VS Code。
開啟 [檔案 ] 功能表，然後選擇 [新增文字檔案] 以建立新檔案。
將檔案儲存為 Main.qs。

建立貝爾狀態

要在Q#中創建貝爾態$\ket{\phi^+}$，請遵循以下步驟：

從標準程式庫匯Std.Diagnostics入Q#命名空間，以便您可以使用該DumpMachine函數。當您在程式碼中呼叫函式時，此函式會顯示量子位元狀態的相關資訊。若要匯入命名空間，請將下列 Q# 程式碼複製到 Main.qs 檔案中：
```
import Std.Diagnostics.*;
```

建立傳回兩個 Main 類別值的 Result 作業，也就是量子位元的測量結果。

import Std.Diagnostics.*;

operation Main() : (Result, Result) {
    // Your code goes here
}

在運算 Main 內，分配兩個量子位以進行糾纏，分別是 q1 和 q2。

import Std.Diagnostics.*;

operation Main() : (Result, Result) {
    use (q1, q2) = (Qubit(), Qubit());
}

將 Hadamard 閘門，H應用於控制量子位元。q1 這只會將該量子位元置於疊加狀態。然後將 CNOT 閘門 CNOT，套用至兩個量子位元，以糾纏兩個量子位元。第一個 CNOT 引數是控制量子位，第二個引數是 target 量子位。
```
import Std.Diagnostics.*; 

operation Main() : (Result, Result) {
    use (q1, q2) = (Qubit(), Qubit());

    H(q1);
    CNOT(q1, q2);
}
```
使用DumpMachine函式來顯示量子位元在糾纏之後的狀態。請注意， DumpMachine 不會在量子位元上執行測量，因此 DumpMachine 不會影響量子位元狀態。
```
import Std.Diagnostics.*;

operation Main() : (Result, Result) {
    use (q1, q2) = (Qubit(), Qubit());

    H(q1);
    CNOT(q1, q2);

    DumpMachine();
}
```

使用M操作來測量量子位元，並將結果儲存在m1和m2中。然後使用該 Reset 操作重置量子位。

import Std.Diagnostics.*;

operation Main() : (Result, Result) {

    use (q1, q2) = (Qubit(), Qubit());

    H(q1);
    CNOT(q1, q2);
    DumpMachine();

    let (m1, m2) = (M(q1), M(q2));
    Reset(q1);
    Reset(q2);

}

返回量子位元的測量結果，使用 return 陳述式。這是 Main.qs 文件中的最終程序：

import Std.Diagnostics.*;

operation Main() : (Result, Result) {
    use (q1, q2) = (Qubit(), Qubit());

    H(q1);
    CNOT(q1, q2);

    DumpMachine();

    let (m1, m2) = (M(q1), M(q2));
    Reset(q1);
    Reset(q2);

    return (m1, m2);
}

若要在內建的模擬器上執行程式，請選擇操作上方的執行程式碼鏡像，或按 Main。您的輸出會出現在偵錯主控台中。
測量結果是相關的，因此在程序結束時，您會得到或(Zero, Zero)(One, One)具有相同機率的結果。多次重新運行程序並觀察輸出以說服自己相關性。
若要視覺化電路圖，請選擇運算上方的Main程式碼功能濾鏡。電路圖顯示套用至第一個量子位元的 Hadamard 邏輯閘，以及套用至這兩個量子位元的 CNOT 邏輯閘。

建立其他貝爾狀態

若要建立其他貝爾態，請對量子位元施加額外的泡利$X$或$Z$運算。

例如，要建立貝爾狀態 $\ket{\phi^-}=\frac1{\sqrt2}(\ket{00}-\ket{11})$，在施加哈達瑪閘後、但應用 CNOT 之前，對控制量子位元施加泡利 $Z$ 運算。該 $Z$ 操作將狀態 $\ket{+}$ 翻轉為 $\ket{-}$。

備註

$\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0}+\ket{1})$狀態和 $\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} - \ket{1})$ 分別稱為 $\ket{+}$ 和 $\ket{-}$。

以下是如何創建 $\ket{\phi^-}$ 狀態的方法：

在狀態 $\ket{00}$中建立兩個量子位元。
將控制量子位元置於疊加態，操作如下 $H$ ：

$$H \ket{0_c} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c} + \ket{1_c}) = \ket{+_c}$$
將操作 $Z$ 套用到控制量子位元。

$$Z \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c} + \ket{1_c}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c} - \ket{1_c}) = \ket{-_c}$$
對控制量子位元 target 和處於 $\ket{0_t}$ 狀態的量子位元施加 CNOT 操作。

$ \begin{aligned} CNOT \frac{{1}{\sqrt{{2}}(\ket{0_c}-\ket{1_c})\ket{0_t}&= CNOT \frac{{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}-\ket{1_c 0_t})\\&=\frac{{1}{\sqrt2}(CNOT \ket{0_c 0_t} - CNOT \ket{1_c 0_t})\\&=\frac{{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}-\ket{1_c 1_t}) \end{aligned}$

要在$\ket{\phi^-}$Q#中建立 Bell 狀態，請將您Main.qs中的程式碼替換為以下程式碼：

import Std.Diagnostics.*;
    
operation Main() : (Result, Result) {
    use (q1, q2) = (Qubit(), Qubit());
    
    H(q1);
    Z(q1); // Apply the Pauli Z operation to the control qubit
    CNOT(q1, q2);
    
    DumpMachine();
    
    let (m1, m2) = (M(q1), M(q2));
    Reset(q1);
    Reset(q2);

    return (m1, m2);
}

同樣地，你也可以透過對量子位元應用泡利 $\ket{\psi^+}$ and $\ket{\psi^-}$X 和$$Z$ 運算來建立貝爾態$。

要建立貝爾態 $\ket{\psi^+}=\frac1{\sqrt2}(\ket{01}+\ket{10})$，在對控制量子位元施加哈達瑪閘後，對另一個量子比特施加泡利 $X$ 閘 target 。然後套用 CNOT 邏輯閘。
要建立貝爾態$\ket{\psi^-}=\frac1{\sqrt2}(\ket{01}-\ket{10})$，在對控制量子位元施加哈達瑪閘門後，將泡利 $Z$ 施加於控制量子位元，然後將泡利 $X$ 施加於target量子位元。然後套用 CNOT 邏輯閘。

在下一個單元中，您將學習如何使用糾纏來傳送量子資訊，這個過程稱為量子隱形傳態。

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