Dirac 標記法和運算子
在上一個單元中，您已瞭解如何在 Bloch 球體上表示單一量子位元的疊加狀態。 但量子計算需要許多量子比特的系統才有用，因此我們需要一種更好的方法來表示更大的量子系統中的疊加態。 在實踐中，使用量子力學定律和線性代數的語言來描述一般量子態。
在本單元中，您將學習如何以狄拉克 bra-ket 表示法表示量子態，並使用該表示法來簡化構成量子力學和量子計算基礎的線性代數計算。
狄拉克 (Dirac bra-ket) 標記法
狄拉克 bra-ket 表示法，簡稱狄拉克表示法，是一種速記符號，可以更輕鬆地寫出量子態和執行線性代數計算。 在量子力學狄拉克表示法中，量子系統的可能狀態由名為 kets 的符號描述，如下所示：$|\rangle$。
例如，$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 分別代表量子的 0 和 1 狀態。 一般而言，我們將量子位元的狀態表示為 $|\psi\rangle$，其中 $|\psi\rangle$ 是兩個狀態 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的加權和 （或線性組合）：
$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$
處於 $|\psi\rangle = |0\rangle$ 狀態的量子位表示 $\alpha = 1$、$\beta = 0$，而且當您測量量子位時，您觀察到 0 狀態的機率為 100%。 同樣地，如果您測量處於 $|\psi\rangle =|1\rangle$ 狀態的量子位元，那麼您將始終觀察到 1 狀態。 $\alpha$ 和 $\beta$ 的任何其他值都代表疊加狀態，只要正規化條件 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$ 為真。
處於相等疊加狀態的量子位可以寫成 $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$。 測量 0 的機率是 $\frac12$，而測量 1 的機率也是 $\frac12$。
量子運算子
在量子運算中，量子態會隨時間進行操縱以執行計算。 這些操作由量子運算子表示，量子運算子是作用於量子系統狀態以將系統轉換為另一種狀態的函數。 例如，運算子將 X $|0\rangle$ 狀態轉換為 $|1\rangle$ 狀態：
$$X |0\rangle = |1\rangle$$
算符 X 也稱為 Pauli-X 閘。 這是可翻轉量子位元狀態的基本量子作業。 有三個泡利閘門：X、 和 YZ。 每個閘道或運算子都會對量子位元狀態產生特定影響。
| 運算子 | 對 $\ket{0}$ 的影響 | 對 $\ket{1}$ 的影響 |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| 是 | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket{0}=\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
注意
量子運算在量子運算中通常稱為閘門。 量子門一詞類似於經典計算機電路中的邏輯門。 該術語植根於量子計算的早期，當時量子算法被可視化為類似於經典計算中的電路圖的圖表。
您也可以使用運算子將量子位元置於疊加狀態。 Hadamard運算子將 H量子位元放入Hadamard狀態，這是$|0\rangle$狀態和$|1\rangle$狀態的相等疊加：
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$ $$ H |1\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle - \frac1{\sqrt2} |1\rangle$$
當您測量處於 Hadamard 狀態的量子位元時，您有 50% 的機會觀察到 0，有 50% 的機會觀察到 1。
測量的意義為何？
在古典世界中，我們認為測量與我們測量的系統是分開的。 例如，測量棒球速度的雷達波束不會以任何有意義的方式影響棒球。 但在量子世界中，測量會影響我們測量的系統。 當我們用光子撞擊電子進行測量時，它對電子的狀態有根本性的影響。
在量子運算中，測量會不可逆轉地將量子位元置於其可能的狀態之一，0 或 1。 在 Hadamard 狀態範例中，如果我們測量量子位並發現它處於 0 狀態，則該量子位的每個後續測量都會給出 0。
要了解有關量子力學背景下的測量的更多信息，請參閱有關 測量問題的維基百科文章。