練習 - 使用 Q# 建立不同的疊加狀態

12 分鐘

在上一個單元中，您已了解疊加和 Dirac 表示法。現在理論就到這裡吧！讓我們編寫一些程式碼來探索 Q# 中的疊加。

在本單元中，您會在 Q# 中建立量子疊加狀態，並探索機率在測量結果中的作用。您也可以使用 DumpMachine Q# 中的函式來檢查系統狀態在量子計算期間如何變更。

建立新的 Q# 檔案

開啟 Visual Studio Code （VS Code）。
開啟 [檔案 ] 功能表，然後選擇 [新增文字檔案] 以建立新檔案。
將檔案儲存為 Main.qs。

開始使用疊加

讓我們從簡單的 Q# 程式開始，該程式使用疊加狀態的量子位元來產生隨機位值 0 或 1。在我們的程式碼中，我們使用函數 DumpMachine 來查看程式中不同點的量子位元狀態。

將下列程式碼複製並貼到 Main.qs 檔案中：

import Std.Diagnostics.*;

operation Main() : Result {
    use q = Qubit();
    Message("Initialized qubit:");
    DumpMachine(); // First dump
    Message(" ");
    H(q);
    Message("Qubit after applying H:");
    DumpMachine(); // Second dump
    Message(" ");
    let randomBit = M(q);
    Message("Qubit after the measurement:");
    DumpMachine(); // Third dump
    Message(" ");
    Reset(q);
    Message("Qubit after resetting:");
    DumpMachine(); // Fourth dump
    Message(" ");
    return randomBit;
}

若要在內建模擬器上執行程式，請選擇 Main 作業上方的 [執行] 程式碼功能濾鏡，或按 Ctrl+F5。您的輸出會出現在偵錯主控台中。
檢查除錯主控台以尋找測量結果， Zero 或 One。

函式 DumpMachine 會建立描述量子系統狀態的資訊表，在此案例中為單一量子位元。來自 DumpMachine 的資訊包括每個基態的機率幅度、測量機率和以弧度為單位的相位。

您的程式碼呼叫函式 DumpMachine 四次：

分配量子位元之後
將量子位元置於疊加狀態之後
測量量子位元的狀態之後
重設量子位元之後

我們來看看每次調用DumpMachine的輸出：

初始化的量子位： 當您使用陳述式配置 use 量子位時，量子位一律會以 $|0\rangle$ 狀態開始。

Initialized qubit:

 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
   |0⟩ |  1.0000+0.0000𝑖 |   100.0000% |   0.0000

應用H後的量子位： 套用 H 作業之後，量子位元會處於相等的疊加狀態，$|\psi\rangle=\frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$。

Qubit after applying H:

 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
   |0⟩ |  0.7071+0.0000𝑖 |    50.0000% |   0.0000
   |1⟩ |  0.7071+0.0000𝑖 |    50.0000% |   0.0000

量子位元測量後： 測量量子位元之後，結果會是 Zero 或 One，且量子位元完全處於您測量的狀態。
```
Qubit after the measurement:

 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
   |1⟩ |  1.0000+0.0000𝑖 |   100.0000% |   0.0000
```
備註

測量後的 DumpMachine 輸出可能與範例輸出不同，因為您有 50% 的機會測量每個狀態。結果的機率是確定性的，但個別測量的結果不是確定性的。

重置後的量子位： 此作業會 Reset 將量子位重設為狀態 $|0\rangle$，以便再次用於未來的計算。

Qubit after resetting:

 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
   |0⟩ |  1.0000+0.0000𝑖 |   100.0000% |   0.0000

探索其他疊加狀態

現在您知道如何使用 DumpMachine檢查量子位元系統的狀態，讓我們探索將系統置於不同類型疊加狀態的其他作業。

目前的隨機位元產生器以50%的機率產生Zero或One。在下一個範例中，機率不相等。

扭曲的隨機位元產生器

假設您要建立一個偏斜的隨機位元產生器，這意味著獲得 Zero 的機率與獲得 One的機率不同。

例如，您想要機率為 $P$ 的結果 Zero ，而機率為 $1 - P$ 的結果 One 。可以產生這類隨機位元產生器的有效量子位元狀態如下：

$$|\psi\rangle=\sqrt{P}|0\rangle+\sqrt{1 - P}|1\rangle$$

對於這個狀態 $|\psi\rangle$，$\alpha=\sqrt{P}$ 和 $\beta=\sqrt{1 - P}$ 分別是基態 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的機率幅度。

若要取得此狀態，您可以循序將運算子 $R_y（2\cos^{-1}\sqrt{P}）$ 套用至以 $|0\rangle$ 狀態開始的量子位元。若要在 Q# 中達成此結果，請使用標準程式庫中的。Ry

提示

若要深入了解單一量子位元運算背後的數學運算，請參閱 Quantum Katas 中的單一量子位元閘教學課程。

若要在 Q# 中建立傾斜的疊加狀態，請遵循下列步驟：

將 Main.qs 中的所有程式碼取代為下列範例，然後儲存檔案。此範例選擇 $\alpha$ 約為 $\frac13$。

import Std.Diagnostics.*;
import Std.Math.*;

operation Main() : Result {
    use q = Qubit();
    let P = 0.333333; // P is 1/3
    Ry(2.0 * ArcCos(Sqrt(P)), q);
    Message("The qubit is in the desired state.");
    DumpMachine(); // Dump the state of the qubit 
    Message("Your skewed random bit is:");
    let skewedrandomBit = M(q);
    Reset(q);
    return skewedrandomBit;
}

若要在內建模擬器上執行程式，請選擇 Main 作業上方的 [執行] 程式碼功能濾鏡，或按 Ctrl+F5。您的輸出會出現在偵錯主控台中。

檢查DumpMachine的輸出以及您的測量結果。例如，輸出類似下列內容：

The qubit is in the desired state.

 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
   |0⟩ |  0.5773+0.0000𝑖 |    33.3333% |   0.0000
   |1⟩ |  0.8165+0.0000𝑖 |    66.6667% |   0.0000

Your skewed random bit is:

One

請注意，測量結果的 Zero 機率約為 33.33%，結果的 One 機率約為 66.67%。這個隨機位生成器偏向 One。

備註

您的測量結果輸出可能與範例輸出不同，因為隨機位元產生器是機率性的。結果的機率是確定性的，但個別測量的結果不是確定性的。

多量子位元疊加

到目前為止，我們只考慮了單量子位元系統。但一台好的量子電腦需要大量的量子位元來執行有用的計算。當我們的系統有多個量子位元時，量子態和疊加如何運作？

例如，請考慮三個量子位元的系統。當您測量每個量子位元時，它們的值可以為 0 或 1，因此您可以找到系統所處的八種可能狀態：

該系統有八種可能的狀態，因為當我們進行測量時，每個量子位元可以獨立為 0 或 1 狀態。一般來說，可能的狀態數等於 $2^n$，其中 $n$ 是量子位元數。

就像單一量子位一樣，3 量子位系統的任意疊加狀態會表示為這八個狀態的加權總和，其中加權是機率振幅：

同樣，振幅 $\alpha_i$ 是滿足條件 $\sum\limits_{i=0}^{i=7}|\alpha_i|^2=1$ 的複數。

例如，您可以將 H 套用到每個量子位元，來以統一的疊加形式放置量子位元。接著，您可使用此均勻疊加原理來建立量子隨機數產生器，使其產生三位元數值而非單一位元數值：

基礎狀態	數字
$\ket{000}$	0
$\ket{001}$	4
$\ket{010}$	2
$\ket{011}$	6
$\ket{100}$	1
$\ket{101}$	5
$\ket{110}$	3
$\ket{111}$	7

備註

寫入位字串的標準方法是將最小的數字放在右側，最大的數字放在左側，就像普通十進制數一樣。在 Q# （和許多其他量子程式設計語言）中，順序會反轉，讓最小的數字位於左側，而最大的數字位於右側。由於函式會以標準順序顯示量子狀態，因此 DumpMachine 狀態對應的十進位整數不會從 0 到 $n-1$ 依序排序。

要創建這種隨機數生成器，請按照下列步驟操作：

將 Main.qs 中的程式碼取代為下列範例，然後儲存檔案：

import Std.Diagnostics.*;
import Std.Convert.*;

operation Main() : Int {
    use qubits = Qubit[3];
    ApplyToEach(H, qubits);
    Message("The qubit register in a uniform superposition: ");
    DumpMachine();
    let result = MeasureEachZ(qubits);
    Message("Measuring the qubits collapses the superposition to a basis state.");
    DumpMachine();
    ResetAll(qubits);
    return ResultArrayAsInt(result);
}

若要在內建模擬器上執行程式，請選擇 Main 作業上方的 [執行] 程式碼功能濾鏡，或按 Ctrl+F5。您的輸出會出現在偵錯主控台中。

檢查DumpMachine的輸出以及您的測量結果。例如，輸出類似下列內容：

The qubit register in a uniform superposition: 

 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
 |000⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |001⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |010⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |011⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |100⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |101⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |110⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |111⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000

Measuring the qubits collapses the superposition to a basis state.

 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
 |011⟩ |  1.0000+0.0000𝑖 |   100.0000% |   0.0000

6

備註

您的輸出可能與範例輸出有不同的結果，因為隨機數產生器是機率性的。結果的機率是確定性的，但個別測量的結果不是確定性的。

若要使用多個量子位元，您的 Q# 程式碼會進行下列修改：

qubits 變數現在代表長度為三的 Qubit 陣列。
運算 ApplyToEach 和 MeasureEachZ 僅需一行代碼即可對多個量子位應用量子操作。 Q# 程式庫提供許多函式和作業，可為您簡化量子程式設計。
函式庫中的ResultArrayAsInt函數Std.Convert將二進位Result數組轉換為十進位整數。

的 DumpMachine 輸出顯示，測量行為將疊加狀態折疊成八種可能的基態之一，就像使用單個量子比特一樣。例如，如果得到結果 6，那麼就意味著系統的狀態塌陷到$|011\rangle$。

現在讓我們更深入地了解系統在測量每個量子位時如何變化。上述程式碼會使用作業 MeasureEachZ 一次測量所有三個量子位元。相反，讓我們使用 for 迴圈一次測量一個量子位元，並用於 DumpMachine 檢視每次測量後的系統狀態。

將 Main.qs 中的程式碼取代為下列範例，然後儲存檔案：

import Std.Diagnostics.*;
import Std.Convert.*;

operation Main() : Int {
    use qubits = Qubit[3];
    ApplyToEach(H, qubits);
    Message("The qubit register is in a uniform superposition: ");
    DumpMachine();
    mutable results = [];
    for q in qubits {
        Message(" ");
        results += [M(q)];
        DumpMachine();
    }
    ResetAll(qubits);
    Message("Your random number is: ");
    return ResultArrayAsInt(results);
}

若要在內建模擬器上執行程式，請選擇 Main 作業上方的 [執行] 程式碼功能濾鏡，或按 Ctrl+F5。您的輸出會出現在偵錯主控台中。
檢查DumpMachine的輸出以及您的測量結果。

輸出顯示每個連續測量如何改變量子態，從而改變獲得每個結果的機率。例如，讓我們檢查輸出的每個部分，假設您的結果為 5：

狀態準備：套用 H 至每個量子位元之後，系統會處於相等的疊加狀態。

The qubit register is in a uniform superposition: 

 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
 |000⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |001⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |010⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |011⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |100⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |101⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |110⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000
 |111⟩ |  0.3536+0.0000𝑖 |    12.5000% |   0.0000

第一次測量：結果是 One 第一次測量的結果，因此現在系統最終可能處於的唯一可能狀態是最左邊位為 1 的狀態。最左邊量子位元為0的狀態的振幅消失了，其餘可能狀態的機率從12.5% 增加到25.0%，因此機率總和保持為100%。

 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
 |100⟩ |  0.5000+0.0000𝑖 |    25.0000% |   0.0000
 |101⟩ |  0.5000+0.0000𝑖 |    25.0000% |   0.0000
 |110⟩ |  0.5000+0.0000𝑖 |    25.0000% |   0.0000
 |111⟩ |  0.5000+0.0000𝑖 |    25.0000% |   0.0000

第二次測量：結果是 Zero 第二次測量的結果，因此現在系統最終可能處於的唯一可能狀態是最左邊的兩個位為 10 的狀態。現在，當我們測量第三個量子位時，我們只剩下兩種可能的結果，每個結果的機率為 50%。
```
 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
 |100⟩ |  0.7071+0.0000𝑖 |    50.0000% |   0.0000
 |101⟩ |  0.7071+0.0000𝑖 |    50.0000% |   0.0000
```

第三次測量：在第三次測量中，結果為 One。系統已完全測量，因此不再如預期的那樣處於疊加狀態。

 Basis | Amplitude      | Probability | Phase
 -----------------------------------------------
 |101⟩ |  1.0000+0.0000𝑖 |   100.0000% |   0.0000

Your random number is: 

5

使用 Q#，您可以建立量子位元系統、將量子位元置於疊加狀態，並檢查系統在套用量子運算或進行測量時如何變更。

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